装备学院2016博士研究生招生应用数学基础考试大纲
第一部分 考试说明
一、考试性质
博士研究生招生考试是为学院招收博士研究生而设置的。应用数学基础为招生考试一门笔试科目，设置该科目的指导思想是既要有利于学院对高层次、高素质人才的选拔，又要有利于促进考生对本科目的学习掌握。
二、考试基本要求
要求考生比较系统地了解应用数学基础的基本概念和基本理论，掌握基本知识和方法，具有综合运用应用数学基础的基本理论和基本方法解答相关应用问题的能力。考生应能：
(一)掌握线性空间基本概念，熟悉线性空间的子空间、线性空间的基与维数、有限维线性空间的同构基本概念;理解度量空间基本概念，了解度量空间的收敛性、点集和映射概念;掌握赋范线性空间基本概念，了解Banach空间基本理论;熟悉内积空间基本概念，了解正交与正交系;了解函数的最佳平方逼近含义。
(二)掌握有界线性算子概念，熟悉有界线性算子的连续性和有界线性空间概念，了解有界线性算子的Banach-Steinhaus一致有界原理、开映射定理、Banach逆算子定理和闭图像定理;理解Hanh-Banach泛函延拓定理、对偶空间与泛函表示，了解伴随算子概念;了解有限维赋范线性空间的含义及特点。
(三)掌握Lebesgue测度及可测函数概念;熟悉Lebesgue积分的定义和性质，理解Lebesgue积分的几个重要定理;了解Lp空间及函数的收敛性，了解Lp空间的完备性和可分性。
(四)掌握多项式矩阵概念，熟悉多项式矩阵的等价标准形和等价不变量，熟悉矩阵相似的一系列充分必要条件，掌握矩阵的两种相似标准形—有理标准形和Jordan标准形，熟悉最小多项式概念及其求法。
(五)熟悉酉矩阵及其酉对角化、Hermite矩阵及其酉对角化以及正规矩阵及其酉对角化;掌握Hermite二次型概念，熟悉将Hermite二次型化为标准型的方法;了解正定Hermite矩阵概念。
(六)熟悉矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、正交三角分解和极分解等矩阵的分解形式，掌握相应的分解方法。
(七)理解方阵范数概念;熟悉方阵的算子范数概念;掌握矩阵空间中方阵序列与方阵幂级数的收敛性;熟悉方阵函数的定义及其计算方法。
(八)了解Fourier级数及其收敛性;熟悉Fourier变换及其性质;了解离散Fourier变换和快速Fourier变换。
(九)掌握小波分析概念，熟悉一元连续小波变换和二进小波变换原理;了解多元小波的构造。
三、考试形式及考试时间
应用数学基础科目考试采用闭卷、笔试形式，考试时间为180分钟。
四、试卷结构
(一)试卷满分为100分。
(二)内容比例
赋范线性空间约15分
有界线性算子约15分
Lebesgue积分 约10分
矩阵的相似标准形约10分
Hermite二次型 约10分
矩阵的分解约10分
矩阵分析 约10分
Fourier级数与Fourier分析约10分
小波变换及其应用 约10分
(三)题型比例
解答题、计算题 约占85%
证明题 约占15%
第二部分 考查知识范围
一、赋范线性空间
线性空间，子空间，线性空间的基与维数，线性算子，有限维线性空间的同构;度量空间，度量空间的收敛性和点集，度量空间的映射;赋范线性空间，Banach空间;内积空间，Hilbert空间，正交与正交系;函数的最佳平方逼近。
二、有界线性算子
有界线性算子，有界线性泛函，算子范数，有界线性算子的连续性，有界线性算子空间;对偶空间，有界线性泛函的表示，伴随算子;有限维赋范线性空间。
三、Lebesgue积分及应用
Riemann积分， Lebesgue测度，可测函数;Lebesgue积分;Lp空间，Lp空间函数的收敛性，Lp空间的完备性和可分性。
四、矩阵的相似标准形
多项式矩阵，多项式矩阵的等价标准形，多项式矩阵的等价不变量;特征矩阵，矩阵的相似标准形;最小多项式。
五、Hermite二次型
酉矩阵，酉相似，酉矩阵酉对角化;Hermite矩阵，Hermite矩阵酉对角化;正规矩阵，正规矩阵酉对角化;Hermite二次型;正定Hermite矩阵。
六、矩阵的分解
矩阵的三角分解，矩阵的Doolittle分解;矩阵的谱分解;矩阵的奇异值，矩阵酉等价，矩阵的奇异值分解;矩阵的QR分解;矩阵的极分解。
七、矩阵分析
方阵范数;方阵的算子范数;方阵序列，方阵的幂级数，方阵幂级数的绝对收敛;方阵函数，谱方法。
八、Fourier级数与Fourier分析
Fourier级数，Fourier级数的收敛性;Fourier变换;离散Fourier变换，快速Fourier变换。
九、小波变换及其应用
分析小波，基本小波，积分小波变换，允许小波，窗函数;小波变换，二进小波变换，重构小波;伸缩矩阵，可加细函数，加细掩膜，插值掩膜，双正交，对偶双正交掩膜;k阶求和定则，双正交二元小波。
参考教材
《应用数学基础》，吴翊等编著，高等教育出版社，2006.06，第1版
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